Pelajaran Matematika

Prinsip Induksi Matematika

 

 

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang bergantung pada n. P(n) benar untuk setiap n bilangan asli jika memenuhi 2 kondisi berikut :

1. P(1) benar, artinya untuk n = 1 maka P(n) bernilai benar.
2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Prinsip diatas dapat diperluas untuk pernyataan yang bergantung pada himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.

Perluasan Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang bergantung pada n. P(n) benar untuk setiap bilangan asli n ≥ m jika memenuhi 2 kondisi berikut :

1. P(m) benar, artinya untuk n = m, maka P(n) bernilai benar
2. Untuk setiap bilangan asli k ≥ m, jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Untuk menunjukkan P(1) benar, kita cukup mensubstitusikan n = 1 pada P(n). Jika P(n) disajikan dalam bentuk persamaan, berarti ruas kiri harus sama dengan ruas kanan pada saat n = 1, barulah kita simpulkan P(1) benar. Cara yang sama dapat kita terapkan untuk menunjukkan P(m) benar.

Kembali lagi pada kasus domino diatas, agar domino (k + 1) jatuh, terlebih dahulu domino k harus jatuh, barulah implikasi "jika domino k jatuh maka domino (k + 1) jatuh" dapat terjadi.

Jadi, untuk menunjukkan implikasi "jika P(k) benar maka P(k + 1) benar", terlebih dulu kita harus menganggap atau mengasumsikan bahwa P(k) benar. Kemudian berdasarkan asumsi tersebut kita tunjukkan P(k + 1) juga benar. Proses asumsi P(k) benar ini disebut dengan hipotesis induksi.

Untuk menunjukkan P(k + 1) benar, dapat kita mulai dari hipotesis, yaitu dari asumsi P(k) benar ataupun dari kesimpulan, yaitu dari P(k + 1) itu sendiri.